Hore

Matematické (logické) úlohy v mapách. Problém štyroch farieb

Obsah školskej geografie je prirodzene prepojený s ďalšími predmetmi. Pozrime sa na to, ako sa dá geografia cez mapy prepojiť s matematikou aj inak, ako len cez prácu s grafmi a štatistickými údajmi.Ako geografi ste si určite všimli, že politické mapy, ktoré zobrazujú vymedzenie jednotlivých štátov a regiónov, sú vytvorené s použitím obmedzeného počtu farieb. Nie je to len náhoda, alebo estetická voľba.

V skutočnosti sa práve na mapách uplatňuje tzv. problém štyroch  farieb (anglicky four color theorem), ktorý je známym problémom z teórie grafov. Znenie problému o štyroch farbách je nasledovné: stačia štyri farby na zafarbenie ľubovoľnej politickej mapy tak, aby žiadne dva susedné štáty neboli zafarbené rovnakou farbou (za susedné štáty sa považujú také, ktoré majú spoločné hraničnú čiaru, tzn. nesusedia spolu len v jednom bode)?

Matematici hľadali univerzálne platnú odpoveď už od 19. storočia, vetu sa však podarilo dokázať až dvojici amerických matematikov Kenneth Appel a Wolfgang Haken v roku 1976. Na jej potvrdenie vymodelovali 1936 možných konfigurácií pomocou počítačového programu. Niektorí matematici sú dodnes presvedčení, že dokonale presvedčivý dôkaz o pravdivosti vety o štyroch farbách stále neexistuje. Nič to nemení na tom, že princíp štyroch farieb sa v kartografii využíva už dlhodobo. Vysvetlenie teórie si môžete pozrieť vo výborne spracovanom edukačnom videu nižšie.

Ako to využiť v škole?

Problém štyroch farieb, bez ktorého riešenia sa nezaobídu ani tvorcovia máp, sa dá vo vyučovaní pretransformovať do praktickej aktivity, v ktorej majú žiaci za úlohu vyfarbiť vami zvolenú obrysovú mapu pomocou štyroch farieb tak, aby na nej neboli zafarbené rovnakou farbou žiadne dva susedné štáty. Platí pritom pravidlo, že za susedné štáty sa považujú len také, ktoré majú spoločné hraničnú čiaru, tzn. nesusedia spolu len v jednom bode. Rovnako platí, že štát (región), ktorý sa skladá z viacerých vzájomne nespojených častí (napr. štát s ostrovmi) musí mať všetky svoje súčasti zafarbené jednou a totožnou farbou. Žiakom môžete podať krátky výklad o probléme štyroch farieb –  ešte predtým, ako im zadáte samostatnú (skupinovú) prácu na zadanej úlohe. Ako inšpirácia môže poslúžiť záznam z vyučovacej hodiny učiteľa, ktorý to má zvládnuté naozaj ukážkovo. 

Pomôcky:

  • prázdne listy papiera 
  • vytlačené obrysové mapy vybraného územia (pre každého žiaka, alebo dvojicu)
  • farebné ceruzky (štyri farby)

Úlohy

Zadanie úlohy môže mať viacero podôb. Najskôr odporúčam začať krátkym úvodom (viď vyššie), po ktorom žiakov vyzvete, aby si každý z nich na prázdny papier nakreslil ľubovoľnú mapu podľa vlastnej fantázie. Nemalo by ísť o mapu reálneho územia, skôr o zhluk viacerých spolu rôzne susediacich území, ako je možné vidieť aj v prvom vloženom videu tohto článku.  Ako príklad som nakreslil nasledovnú mapu. Takto vytvorené mapy si žiaci vymenia medzi sebou tak, aby každý z nich pracoval s mapou svojho suseda. Úlohou žiakov je zistiť akým minimálnym počtom farieb je možné danú mapu zafarbiť (aby platili vyššie uvedené pravidlá vety štyroch farieb). Pri jednoduchších mapách to môžu byť len tri farby, pri väčšine bude nutné použiť štyri. 

problém štyroch farieb

V prípade, že chcete aktivitu poňať viac ako matematický (logický) rébus, môžete to skúsiť aj s nasledovným zadaním. Vyzvite žiakov, aby na papier nakreslili viaceré územia (ako v príklade vyššie) tak, že všetky ich hranice sú tvorené len rovnými čiarami, pričom každá z nich musí prechádzať celým papierom – tzn. musí začať na jednej strane a skončiť na druhej strane papiera.

Nechajte ich pracovať na riešení, ktoré by malo viesť k nájdeniu (podaniu) dôkazu o tom, koľko farieb je v prípade takto nakreslených hraníc potrebných na zafarbenie všetkých oblastí tak, aby platilo, že každé susedné územie je zafarbené inou farbou (neplatí pre už predtým spomínané body, v ktorých sa územia stretajú). Kto príde na správnu odpoveď? Všeobecne platí, že v prípadoch, keď sú hranice tvorené len rovnými čiarami, ktoré prechádzajú od jedného po druhý okraj – mapu je možné zafarbiť najmenej dvomi farbami

Čo sa stane, ak do celkového nákresu zakreslíme jednu, alebo viacero rovných čiar, ktoré nebudú prechádzať od okraja po okraj? Riešenie sa zmení: na takúto mapu bude potrebné použiť tri farby.

Viacero konkrétnych úloh (a ich riešení) spojených s problematikou teórie štyroch farieb nájdete vo výbornom spracovaní na tomto odkaze (v angličtine).

matematika v geografii

Zadanie s mapami reálnych území

Pri variante zadania s mapami reálnych území (svetadiely, regióny) žiaci pracujú s vytlačenými obrysovými mapami. Ľubovoľné obrysové mapy nájdete na stránke d-maps.com.

Podporte nás

Podporte nás

V čase zatvorených škôl chceme pomôcť učiteľom, žiakom aj rodičom a preto je plný obsah Lepšej geografie pre všetkých zdarma. Znamená to pre nás výpadok príjmov, ktorý nás existenčne ohrozuje. Na tvorbe nových materiálov pre vás pracujeme denne. Ak sa vám zdá naša činnosť prospešná, prosíme, podporte nás ľubovoľným finančným príspevkom. Aj malá pomoc môže byť veľkou. Ďakujeme!

Chcem podporiť